Get real!

Alkuinnostus on lievästi laantunut. Olen lukenut sekä Kaarina Merenluodon väitöstä lukiolaisten reaalilukukäsityksistä, että hänen tutkimustaan matemaatikkojen reaalilukumaailmasta. Näiden pohjalta olen yrittänyt hahmotella kysymyksiä, joita esittää uusille matematiikan opiskelijoille. Nämä opiskelijat ovat kahden maailman välissä, heillä on lukiomatematiikan pohjalta jonkinlainen käsitys reaaliluvuista, mutta suuri käsitteellinen muutos erilaisten lukujen luonteesta on vielä luultavasti edessäpäin. 

Merenluodon kirjoituksissa matemaatikot kertovat, miten reaalilukujen luonteen ymmärtäminen on “iskeytynyt” heihin, ja toisaalta taas siitä, miten oikean elämänsä matematiikassa reaalilukujen tarkkuutta ei tarvita; maitokaupassa käynti ja puiden pilkkominen ovat rationaaliluvuilla (siis murtoluvuilla) operoimista. Reaaliluvuilla ei siis ole reaalimaailmassa käyttöä.. 

Tehtäväni reaalilukujen tai reaalilukusuoran ruumiillistamisesta tuntuu siis muuttuvan yhä mutkikkaammaksi; miten voin havainnollistaa jotain, joka havainnoitavaksi tehtynä on tuotu pois reaalilukujen ideamaailmasta omaan kömpelöön todelliseen maailmaamme, ja on siten heti harhaanjohtava antaessaan reaalilukusuoralle ääreellisyyden ja koon. Sillä onhan jokainen piste, jonka matematiikan opiskelija tai opettaja piirtää, on vain pisteen kuva, todellinen piste reaaliakselilla on äärettömän pieni, jotain, jota rajoitettu mielemme ei edes osaa kuvitella! 

Noh, ainakin voin yrittää havainnollistaa sitä, miten reaalilukusuoralla ei ole olemassa seuraavaa lukua siten, kuin luonnollisilla luvuilla, joilla seuraava luku saadaan lisäämällä edelliseen 1; lukua 2 seuraa luku 3 jne. Intuitiivisesti tekee ehkä mieli asettaa reaalilukuakselilla luvun 2 jälkeen vaikkapa luku 2,1, mutta näiden lukujen välissä on myös esimerkiksi luku 2,05. Itse asiassa lukujen 2 ja 2,1 välissä on ääretön määrä lukuja, kuten minkä tahansa kahden luvun välissä reaaliakselilla! Jatkan tämän totuuden kertomista itselleni etsien samalla lisää luettavaa.

Infinitesimaaleista reaalimaailmaan

Artikkeleita on luettu ja yliviivaustussi on laulanut. Välineurheilu se on tässäkin poikaa, näyttää aikaansaannokset jotenkin suuremmilta, kun artikkeleihin on tullut omia merkintöjä! Hra O:n kanssa kävimme jälleen keskustelua siitä missä mennään, ja mihin tästä jatketaan. Gradun valmistumisajankohdasta olimmekin puhuneet jo aiemmin. Minä: “Keväällä.” Hra O: “TÄNÄ keväänä??” Etenemisen kanssa tulee siis olla aktiivinen. Nyt keskustelimme reaalilukusuorasta, sekä infinitesimaleista, joiden tutkimuksesta Hra O kehotti kuitenkin luopumaan, sillä ne eivät kuulu reaalilukujen joukkoon, ja poikkeavat siis aihiostamme liikaa. 

David Tallin teksteissä esiintyy ajatus matematiikan kolmesta maailmasta. Niistä ensimmäiseen tutustumme jo vauvana ja lapsuudessa. Käsitteet kuten enemmän tai vähemmän, ylös ja alas, muoto, suunta ja jossain määrin myös lukumäärä tulevat osaksi hahmotuskykyämme hyvin luonnolliseen tapaan tutkiessamme todellista maailmaa. 

Toinen matematiikan maailma on laskemisen ja käsitteiden maailma. Tähän tutustumme viimeistään koulussa oppiessamme laskemaan kun meille opetetaan, että 5+6=11 tai että murtoluvussa on osoittaja ja nimittäjä. 

Kolmas matematiikan maailma on aksioomien, määritelmien ja todistusten maailma, joka tulee vastaan, kun opiskellaan matematiikkaa riittävän pitkälle. Tallin mukaan, saavuttaaksemme rikkaamman ymmärryksen matemaattiseen ajattelussamme, meidän tulisi käyttää enemmän "ensimmäisen” ja “toisen” maailman matematiikkaa uusia asioita opetellessamme. 

Kiinnostavaa graduni kannalta on siis tutkia miten reaaliakselia saisi käsinkosketeltavaksi ja havainnoitavaksi siten, että siihen liittyvät tosiasiat “näyttäytyisivät” oppilaalle sen sijaan, että joku vain antaa ne ylhäältä päin. Tutustuakseni tarkemmin reaalilukusuoraan, ja sen ymmärtämisen ongelmiin, Hra O:n sanoin "ryntäsin" tutkimaan Kaarina Merenluodon kirjoituksia aiheesta.

Tästä se lähtee!

Gradu käyntiin! Ensimmäinen tapaaminen graduohjaajani, Hra O:n kanssa oli eilen, 17.1.2012. Meidän tuli päättää gradulleni aihe, ja sehän on tässä savotassa yksi haastavimmista tehtävistä! 

Keskustelimme minua kiinnostavasta aihepiiristä, kinesteettisestä opettamisesta, ja siihen liittyvistä ilmiöistä; eleistä, ruumiillistamisesta ja keskittymistä parantavista opetusmenetelmistä. Hra O kokosi keskustellessamme listaa hakusanoista ja nimistä, joiden avulla voisin löytää viitekehystä taustatutkimusta varten. 

Kinesteettinen opettaminen itsessään on tietysti gardun aiheeksi aivan liian laaja, seuraavaksi tulikin rajata se matematiikan osa-alue, tai matemaattinen käsite, jota lähtisin lähestymään kinesteettisen opettamisen näkökulmasta. Sopiva mittakaava, ja oikea harrastuneisuuden taso suhteessa käsiteltävään asiaan aiheutti päänvaivaa. Ainut aihe, joka minulle tuli mieleen, oli jostain syystä lukusuora. Minusta se kuulosti liian “helpolta” asialta käsiteltäväksi gradussa, mutta Hra O oli sitä mieltä, että ei lukusuora ole helppo asia ollenkaan! Varsinkin lukiomatematiikasta yliopistomatematiikkaan siirryttäessä lukukäsitteen laajennus on valtava! Muistan itsekin, kuinka salaman lailla ajatteluni muuttui, kun laskuharjoituksissa todettiin, että rationaalilukujen joukko on tiheä. 

Lukusuora, ja sen ruumiillistaminen, siinä avainsanat, joiden avulla tulee päästä lähemmäs gradun ydintä perjantaihin mennessä!

Tänään tein artikkelihakua mm. hakusanoilla “embodiment”, “number axis”, “numerical axis”, “mathematic”, ja nimillä “David Tall”, “Kaarina Merenluoto” ja “Anna Sfard”. Tulostin kolme artikkelia, joista on hyvä aloittaa! 

Tietenkin intopiukeana hain Akateemisesta myös yliviivaustusseja (ensimmäistä kertaa elämässäni!) ja uuden viivottimen (koska vanhalla ei enää voi piirtää suoraa viivaa :/). Nyt lukemaan!