Get real!

Alkuinnostus on lievästi laantunut. Olen lukenut sekä Kaarina Merenluodon väitöstä lukiolaisten reaalilukukäsityksistä, että hänen tutkimustaan matemaatikkojen reaalilukumaailmasta. Näiden pohjalta olen yrittänyt hahmotella kysymyksiä, joita esittää uusille matematiikan opiskelijoille. Nämä opiskelijat ovat kahden maailman välissä, heillä on lukiomatematiikan pohjalta jonkinlainen käsitys reaaliluvuista, mutta suuri käsitteellinen muutos erilaisten lukujen luonteesta on vielä luultavasti edessäpäin. 

Merenluodon kirjoituksissa matemaatikot kertovat, miten reaalilukujen luonteen ymmärtäminen on “iskeytynyt” heihin, ja toisaalta taas siitä, miten oikean elämänsä matematiikassa reaalilukujen tarkkuutta ei tarvita; maitokaupassa käynti ja puiden pilkkominen ovat rationaaliluvuilla (siis murtoluvuilla) operoimista. Reaaliluvuilla ei siis ole reaalimaailmassa käyttöä.. 

Tehtäväni reaalilukujen tai reaalilukusuoran ruumiillistamisesta tuntuu siis muuttuvan yhä mutkikkaammaksi; miten voin havainnollistaa jotain, joka havainnoitavaksi tehtynä on tuotu pois reaalilukujen ideamaailmasta omaan kömpelöön todelliseen maailmaamme, ja on siten heti harhaanjohtava antaessaan reaalilukusuoralle ääreellisyyden ja koon. Sillä onhan jokainen piste, jonka matematiikan opiskelija tai opettaja piirtää, on vain pisteen kuva, todellinen piste reaaliakselilla on äärettömän pieni, jotain, jota rajoitettu mielemme ei edes osaa kuvitella! 

Noh, ainakin voin yrittää havainnollistaa sitä, miten reaalilukusuoralla ei ole olemassa seuraavaa lukua siten, kuin luonnollisilla luvuilla, joilla seuraava luku saadaan lisäämällä edelliseen 1; lukua 2 seuraa luku 3 jne. Intuitiivisesti tekee ehkä mieli asettaa reaalilukuakselilla luvun 2 jälkeen vaikkapa luku 2,1, mutta näiden lukujen välissä on myös esimerkiksi luku 2,05. Itse asiassa lukujen 2 ja 2,1 välissä on ääretön määrä lukuja, kuten minkä tahansa kahden luvun välissä reaaliakselilla! Jatkan tämän totuuden kertomista itselleni etsien samalla lisää luettavaa.