Empiiristä havainnointia

Opetustuokio on vihdoin pidetty, ja ihan kivasti meni. Tilaisuuteen oli ilmoittautunut neljä henkeä, ja paikalle heistä muisti saapua kolme. Sain kuitenkin kaiken tehdyksi niin kuin pitikin, ja kiltisti koekaniinini myös kokivat tilaisuuden itselleen hyödylliseksi. Opetustuokioni tarkoituksena oli havainnollistaa diskreettien ja jatkuvien lukujen eroja, sekä sitä, että reaali- ja rationaalilukujen joukossa millä tahansa välillä on ääretön määrä lukuja. 

Ensimmäisenä tehtävänä oli kulkea tuolilta toiselle siten, että ensin tuolit kuvastivat diskreettejä, eli erillisiä lukuja. Tässä tapauksessa tuolilta toiselle piti hypätä, sillä luvun, ja sitä seuraavan luvun välissä ei ole mitään. Sitten kuvittelimme, että tuolit edustaisivat kokonaislukuja, mutta olisivat reaalilukujen joukossa. Nyt saatoimme täyttää kahden kokonaisluvun välissä olevan tilan muilla tuoleilla, eli ”välissä olevilla luvuilla”, jolloin tuolit muodostivat kiinteän sillan, jolla saattoi kulkea vaikka silmät sidottuina. 

Seuraavaksi halusin slinkyn avulla havainnollistaa sitä, että mitä tahansa reaalilukuväliä voidaan ”zoomata” äärettömän monta kertaa, ja aina vaan lukuja löytyy lisää. Tehtävässämme Vilkas-kääpiön piti kulkea pöydälle venytetyn slinkyn päästä päähän, mutta pysähdyimme aina matkan varrella venyttämään slinkyn uudelleen pöydän mittaiseksi. Näin Vilkas kulki pöytää pitkin koko ajan yhtä pitkää matkaa, mutta slinky tuli aina venyneeksi enemmän ja enemmän, jolloin slinkyä pitkin kuljettu matka muuttui koko ajan lyhyemmäksi. Vaikka slinkyn venyvyys tuleekin jossain vaiheessa vastaan, reaalilukujen joukossa tällaista zoomausta voisi jatkaa äärettömästi! 

Kolmas demonstraatio liittyi ihmisen liikkeen jatkuvuuteen. Annoin koekaniineille kolme asentoa, jotka kuvastivat eri liikkeitä. Sitten pyysin heitä esittämään liikkeet ensin diskreetteinä, sitten jatkuvina. Tarkoitus oli havainnoida, että asennosta toiseen siirtyminen edellyttää äärettömän montaa asentoa, ja täten ihmisen liikkuminen on jatkuvaa, ja diskreetit asennot voi esittää vain niin, että jokainen koehenkilö on paikallaan ja edustaa jotain tiettyä asentoa. 

Harjoitusten jälkeen juttelimme siitä, oliko opetustuokio tuonut jotain syvennystä koekaniinien reaalilukukäsityksiin. Mukava oli huomata, että jokainen viittasi johonkin eri harjoitukseen kertoessaan siitä, mikä herätti jotain ajatuksia. Erityisesti slinky näytti tehneen tehtävänsä äärettömyyden havainnollistajana mainiosti! Parin viikon päästä aion teettää kokelailla vielä yhden kyselyn, jolla pyrin selvittämään sen, jäikö tilaisuudesta tosiaan jotain mieleen. 

Gradun kokeellinen osuus on kuitenkin lähes pulkassa, joten tästä eteenpäin on tiedossa tuntitolkulla läppärin ruudun tuijottelua ja tekstin tuottamista.. Vielä olisi tarkoitus tutkia muutama semiotiikan laitokselta tullut lukuvinkki, joskos gradun teoriaosuuteen löytyisi niistä vielä lisää sisältöä. 

Adios, vamos!  

Still alive

Se, että päiväkirja ei ole edennyt, ei onneksi ole rinnastettavissa sen kanssa, että gradu ei olisi edennyt. Viime aikoina on siis tapahtunut seuraavaa: Varasin opetustilan pitääkseni opetustuokion, ja kutsuin paikalle aiemmin haastattelemiani uusia matematiikan opiskelijoita. Kävin tapaamassa Hra H:ta uudemman kerran, kuten olimme sopineet. Hänen ehdotuksestaan muokkasin hieman opetustuokioni harjoituksia, ja ostin myös muovisen venyvän jousen (tunnetaan myös nimellä Slinky) demonstraatioita varten. 

Opetustuokioon ei ilmoittautunut kuin yksi.. En lainkaan ole tästä ymmälläni, sillä itsekin aktiivisesti väistin aina vastaavat jutut, lisäksi laitoksella oli väliviikko, ja opiskelijat lomilla. Noh, ei muuta, kuin uutta tilavarausta ja kutsua pukkaamaan, tällä kertaa Hra O:n muutamalla suosituksella maustettuna. 

Lisäksi olen näpytellyt menemään tutkielman johdantoa, sekä lukua ”Aiemmat tutkimukset”. Lähetin tekeleeni Hra O:lle luettavaksi, ja sainkin varsin hyväksyvää palautetta! Hra O:n mielestä semiotiikka, jota tutkielmani sivuaa, on varsin mielenkiintoinen aihe, johon tulisi paneutua enemmänkin. Hän ehdotti, että ottaisin yhteyttä Helsingin yliopiston semiotiikan laitoksen henkilöihin, ja pyytäisin lisää luettavaa, tutkielmani teoriaosuutta varten. Niin teinkin, ja nyt odottelen vastauksia arvon herroilta. 

Odotellessani lisälukemistoa semiotiikasta, tarkoitus olisi palata David Tallin ruumiilliseen matematiikkaan, ja alkaa kirjoittaa siitä, mutta nyt on iskenyt ensimmäinen kunnon kirjoitusjumi. Havaitsin kyllä aiemmin kirjoittaessani, että paras apu jumitukseen on kirjoittaa jotain, vaikka kuinka kauhea lause. Siinä, kun se sitten on nenän edessä, on sitä helpompi muokata paremmaksi, kuin ylipäänsä rakentaa lausetta jostain päässä pyörivästä sekamelskasta.. Täytynee siis vaan avata tuo Tex-tiedosto ja ryhtyä hommiin! 

Uusi opetustuokiokin on varattu ensi tiistaille! Ilmoittautuneita on tähän mennessä kaksi, lisäksi Hra O on lupautunut käyttämään kovia keinoja väen lisäämiseksi. Hyvä! Hommaa on. Suunnitelma on. Nyt tekemään!

Lumipalloefekti

Tänään kävin tapaamassa matematiikan ainedidaktiikan professoria Hra H:ta. Keskustelimme graduni aiheesta, ja hän esitti tiukkoja tarkentavia kysymyksiä ja auttoi minua löytämään tarvittavaa taustamateriaalia tutkielmaani. 

Hra H seuraa tiiviisti alan viimeisimpiä tutkimuksia, mutta näyttää siltä, että ruumiillisesta matematiikan opetuksesta ei vielä löydy juurikaan artikkeleita. Graduni kannalta se tarkoittaa sitä, että kun vahvaa tutkimusperinnettä tältä alalta ei vielä ole, teoriataustan osuus työssäni jää suhteessa kevyehköksi, ja oman tutkimuksen osuus painottuu. Oma tutkimus tulee siis suunnitella hyvinkin huolellisesti ja eri näkökulmia huomioon ottaen. Hra H toivoikin, että tulisin ennen tulevaa opetustuokiota esittelemään suunnittelemiani harjoitteita hänelle. Lisäksi tutkimustuloksia analysoitaessa on aiemman perinteen puuttuessa oltava tarkkana sen suhteen, ovatko tutkimusmetodit todella tutkineet kiinnostuksen kohteena ollutta asiaa, ja kuinka luotettavia tulokset siten ovat. 

Toisaalta tutkimusperinteen vähyys tällä matematiikan osa-alueella tarkoittaa myös sitä, että jatkotutkimuksille riittänee mahdollisuuksia, tai että tutkimustulokset saattavat olla kiinnostavia laajemmassakin piirissä.. 

Noh, tehdään nyt vaan tämä yksi pikku gradu ensin. Luettavaa Hra H:lta liikeni useampi nivaska, niiden kimppuun seuraavaksi!

Tolerating the uncertain

Mietittyäni pari päivää ideoita tulevaan opetustuokiooni, tunsin ajautuneeni umpikujaan. Muutama ajatus ruumiillisista keinoista reaalilukujen opettamiseen tulikin mieleeni, mutta sitten jäin pyörittämään niitä, enkä kyennyt tuottamaan enää uusia oivalluksia. Gradun päätehtävä on tulla valmiiksi, ja pään hakkaaminen seinään ei tätä tavoitetta edistä, joten etsiydyinkin juttusille Hra O:n kanssa. Ja mikä keskustelu siitä seurasikaan! 

Kerroin Hra O:lle juuttuneeni laatikkoon; en keksi enempää ideoita opetustuokioon, aivokapasiteettini ei tuota tapoja muuntaa formaalia käsitystä reaalilukusuorasta informaaliksi ja käsinkosketeltavaksi, ja kaiken kukkuraksi en edes oikein ymmärrä, miten graduni rakentuu.. Viisas Hra O sai minut ottamaan askeleen taaksepäin, ja tarkastelemaan tähän mennessä saamiani opetusideoita oppilaan näkökulmasta. ”Oletko kokeillut niitä itseesi?” ”Ei kai koreografikaan luo teoksiaan kynä ja paperi kädessään ja tuolilla istuen?” Totesimme myös, että ehkä en ole vielä riittävästi perehtynyt sellaiseen taustamateriaaliin, jossa käsitellään juuri tällaista liikkumisen kautta opettamista. Hra O lähetti sähköpostia kollegalleen, jolta uskoi löytyvän lisämateriaalia aiheesta, ja kehotti minua sopimaan tapaamisen tämän kanssa mahdollisimman pian.

Keskustelimme myös käsitteellisen muutoksen teemasta, joka on gradussani hyvin vahvasti läsnä reaalilukukäsitteen laajenemisen muodossa. Olen ihastunut ajatukseen ”tolerating the uncertain”, millä tarkoitan sitä, miten toisin kuin koulumatematiikassa, jossa hyvin määritellylle kysymykselle annetaan yksiselitteinen vastaus, yliopistomatematiikassa pohditaan ongelmia, joille ei ole yksiselitteistä vastausta, mikä noviisille voi tuntua siltä, että vastausta ei ole ollenkaan. ”Eikö se ole vähän sama, kuin lapsuuden ja aikuisuuden ero?”, kysyi Hra O. En olisi voinut olla enempää samaa mieltä! 

Lisäksi Hra O kävi läpi tulevan tutkielmani rakennetta, jolloin totesimme, että voisin myös alkaa kirjoittaa gradun johdantoa, sekä taustateoriaa esitteleviä kappaleita. Toki nämä muokkaantuvat vielä huomattavasti työn edistyessä, mutta minusta itsestäni tuntuu siltä, että jotain mustaa valkoiselle on saatava.

 Lähdin Hra O:n luota motivaatiopalkkini sataprosenttisen ladattuna! Menin etsimään tietoa hakusanoilla ”Arzarello” ja ”learning process”. Oppimisprosessista tietoa etsiessäni päätin hyödyntää sosiaalista verkostoani, ja kysyä lähdevinkkejä eräältä tutulta valmentamisen ja oppimispsykologian ammattilaiselta. Vastauksia sainkin heti, ja nyt lukemistoni lisänä on kasvatus- ja oppimispsykologiaa käsittelevä ”Tutkiva oppiminen”. 

Nyt ei muuta kuin täyttä höyryä eteenpäin! Laiva on lastattu motivaatiolla ja ideoilla!

Askel askeleelta

Kävin tänään pikaisesti Hra O:n vastaanotolla, hakemassa uusien opiskelijoiden täyttämiä kysymyslomakkeita, sekä pohtimassa maisterintyöni seuraavaa vaihetta. Etenen pohtimalla sitä, minkälaisia aukkoja uusien opiskelijoiden reaalilukukäsityksissä näyttäisi kysymyslomakkeen perusteella olevan, ja kuinka voisin niitä paikata kinesteettisen opettamisen keinoin. Pari ideaa onkin jo mielessä, mutta täytyy antaa niiden vielä hieman hioutua. Joka tapauksessa tulen jollain lailla ruumiillistamisen keinoin lähestymään jatkuvuutta ja sitä, miten reaalilukusuoralla jotain pistettä voidaan lähestyä äärettömän lähelle, sitä kuitenkaan saavuttamatta.

LaTeXilla olen parin päivän tutkiskelun ja uudelleentutustumisen jälkeen saanut aikaiseksi dokumenttipohjan, jolle graduni rakennan. Enää tarvitsee vain täyttää otsikoiden väliset tyhjät tilat..

Vihdoinkin kädet mutaan!

Aikaa on hieman vierähtänyt, mutta nyt on vihdoinkin päästy asiaan! Tein reaalilukuvisioita kartoittavan lyhyen kyselyn, joka on jaettu eteenpäin uusien opiskelijoiden vastattavaksi. Toivottavasti he noudattavat ohjeita itsenäisestä vastaamisesta, tai ylipäänsä vastaavat kyselyyn.. Hra O oli sitä mieltä, että uudet ovat kilttejä ja kuuliaisia, ja varmasti vastaavat, toivottavasti on niin. 

Seuraavat päivät menevät vastauksia odotellessa, joten aion hyödyntää välissä olevan ajan asentamalla koneelleni LaTeX –ladontaohjelman. LaTeXilla (lausutaan latech) saan matemaattiset kaavat tuotettua siististi, sekä tutkielmalleni ulkoasun, joka on automaattisesti viimeistelty. Ulkoasua koskevat asiat määrätään dokumentin pohjaan komennoilla, toisin kuin esimerkiksi Wordissa, jossa asetuksia säädetään manuaalisesti. 

Olen aiemminkin tehnyt tutkielmia LaTeXilla, mutta edellisestä kerrasta, kanditutkielmasta, on jo kolmisen vuotta, joten koodauksien kanssa on hieman muistelemista. Tietenkin, jos tietää, mitä kysyä, on netti pullollaan hyödyllisiä vastauksia. Nyt siis koodailua treenaamaan! Hiphei! \end{section}

Get real!

Alkuinnostus on lievästi laantunut. Olen lukenut sekä Kaarina Merenluodon väitöstä lukiolaisten reaalilukukäsityksistä, että hänen tutkimustaan matemaatikkojen reaalilukumaailmasta. Näiden pohjalta olen yrittänyt hahmotella kysymyksiä, joita esittää uusille matematiikan opiskelijoille. Nämä opiskelijat ovat kahden maailman välissä, heillä on lukiomatematiikan pohjalta jonkinlainen käsitys reaaliluvuista, mutta suuri käsitteellinen muutos erilaisten lukujen luonteesta on vielä luultavasti edessäpäin. 

Merenluodon kirjoituksissa matemaatikot kertovat, miten reaalilukujen luonteen ymmärtäminen on “iskeytynyt” heihin, ja toisaalta taas siitä, miten oikean elämänsä matematiikassa reaalilukujen tarkkuutta ei tarvita; maitokaupassa käynti ja puiden pilkkominen ovat rationaaliluvuilla (siis murtoluvuilla) operoimista. Reaaliluvuilla ei siis ole reaalimaailmassa käyttöä.. 

Tehtäväni reaalilukujen tai reaalilukusuoran ruumiillistamisesta tuntuu siis muuttuvan yhä mutkikkaammaksi; miten voin havainnollistaa jotain, joka havainnoitavaksi tehtynä on tuotu pois reaalilukujen ideamaailmasta omaan kömpelöön todelliseen maailmaamme, ja on siten heti harhaanjohtava antaessaan reaalilukusuoralle ääreellisyyden ja koon. Sillä onhan jokainen piste, jonka matematiikan opiskelija tai opettaja piirtää, on vain pisteen kuva, todellinen piste reaaliakselilla on äärettömän pieni, jotain, jota rajoitettu mielemme ei edes osaa kuvitella! 

Noh, ainakin voin yrittää havainnollistaa sitä, miten reaalilukusuoralla ei ole olemassa seuraavaa lukua siten, kuin luonnollisilla luvuilla, joilla seuraava luku saadaan lisäämällä edelliseen 1; lukua 2 seuraa luku 3 jne. Intuitiivisesti tekee ehkä mieli asettaa reaalilukuakselilla luvun 2 jälkeen vaikkapa luku 2,1, mutta näiden lukujen välissä on myös esimerkiksi luku 2,05. Itse asiassa lukujen 2 ja 2,1 välissä on ääretön määrä lukuja, kuten minkä tahansa kahden luvun välissä reaaliakselilla! Jatkan tämän totuuden kertomista itselleni etsien samalla lisää luettavaa.

Infinitesimaaleista reaalimaailmaan

Artikkeleita on luettu ja yliviivaustussi on laulanut. Välineurheilu se on tässäkin poikaa, näyttää aikaansaannokset jotenkin suuremmilta, kun artikkeleihin on tullut omia merkintöjä! Hra O:n kanssa kävimme jälleen keskustelua siitä missä mennään, ja mihin tästä jatketaan. Gradun valmistumisajankohdasta olimmekin puhuneet jo aiemmin. Minä: “Keväällä.” Hra O: “TÄNÄ keväänä??” Etenemisen kanssa tulee siis olla aktiivinen. Nyt keskustelimme reaalilukusuorasta, sekä infinitesimaleista, joiden tutkimuksesta Hra O kehotti kuitenkin luopumaan, sillä ne eivät kuulu reaalilukujen joukkoon, ja poikkeavat siis aihiostamme liikaa. 

David Tallin teksteissä esiintyy ajatus matematiikan kolmesta maailmasta. Niistä ensimmäiseen tutustumme jo vauvana ja lapsuudessa. Käsitteet kuten enemmän tai vähemmän, ylös ja alas, muoto, suunta ja jossain määrin myös lukumäärä tulevat osaksi hahmotuskykyämme hyvin luonnolliseen tapaan tutkiessamme todellista maailmaa. 

Toinen matematiikan maailma on laskemisen ja käsitteiden maailma. Tähän tutustumme viimeistään koulussa oppiessamme laskemaan kun meille opetetaan, että 5+6=11 tai että murtoluvussa on osoittaja ja nimittäjä. 

Kolmas matematiikan maailma on aksioomien, määritelmien ja todistusten maailma, joka tulee vastaan, kun opiskellaan matematiikkaa riittävän pitkälle. Tallin mukaan, saavuttaaksemme rikkaamman ymmärryksen matemaattiseen ajattelussamme, meidän tulisi käyttää enemmän "ensimmäisen” ja “toisen” maailman matematiikkaa uusia asioita opetellessamme. 

Kiinnostavaa graduni kannalta on siis tutkia miten reaaliakselia saisi käsinkosketeltavaksi ja havainnoitavaksi siten, että siihen liittyvät tosiasiat “näyttäytyisivät” oppilaalle sen sijaan, että joku vain antaa ne ylhäältä päin. Tutustuakseni tarkemmin reaalilukusuoraan, ja sen ymmärtämisen ongelmiin, Hra O:n sanoin "ryntäsin" tutkimaan Kaarina Merenluodon kirjoituksia aiheesta.

Tästä se lähtee!

Gradu käyntiin! Ensimmäinen tapaaminen graduohjaajani, Hra O:n kanssa oli eilen, 17.1.2012. Meidän tuli päättää gradulleni aihe, ja sehän on tässä savotassa yksi haastavimmista tehtävistä! 

Keskustelimme minua kiinnostavasta aihepiiristä, kinesteettisestä opettamisesta, ja siihen liittyvistä ilmiöistä; eleistä, ruumiillistamisesta ja keskittymistä parantavista opetusmenetelmistä. Hra O kokosi keskustellessamme listaa hakusanoista ja nimistä, joiden avulla voisin löytää viitekehystä taustatutkimusta varten. 

Kinesteettinen opettaminen itsessään on tietysti gardun aiheeksi aivan liian laaja, seuraavaksi tulikin rajata se matematiikan osa-alue, tai matemaattinen käsite, jota lähtisin lähestymään kinesteettisen opettamisen näkökulmasta. Sopiva mittakaava, ja oikea harrastuneisuuden taso suhteessa käsiteltävään asiaan aiheutti päänvaivaa. Ainut aihe, joka minulle tuli mieleen, oli jostain syystä lukusuora. Minusta se kuulosti liian “helpolta” asialta käsiteltäväksi gradussa, mutta Hra O oli sitä mieltä, että ei lukusuora ole helppo asia ollenkaan! Varsinkin lukiomatematiikasta yliopistomatematiikkaan siirryttäessä lukukäsitteen laajennus on valtava! Muistan itsekin, kuinka salaman lailla ajatteluni muuttui, kun laskuharjoituksissa todettiin, että rationaalilukujen joukko on tiheä. 

Lukusuora, ja sen ruumiillistaminen, siinä avainsanat, joiden avulla tulee päästä lähemmäs gradun ydintä perjantaihin mennessä!

Tänään tein artikkelihakua mm. hakusanoilla “embodiment”, “number axis”, “numerical axis”, “mathematic”, ja nimillä “David Tall”, “Kaarina Merenluoto” ja “Anna Sfard”. Tulostin kolme artikkelia, joista on hyvä aloittaa! 

Tietenkin intopiukeana hain Akateemisesta myös yliviivaustusseja (ensimmäistä kertaa elämässäni!) ja uuden viivottimen (koska vanhalla ei enää voi piirtää suoraa viivaa :/). Nyt lukemaan!